范德蒙德行列式证明

calendar 2024-03-14 · 2 分钟阅读 · 线性代数 数学  ·
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范德蒙德行列式：

∣11⋯1x1x2⋯xnx12x22⋯xn2⋮⋮⋱⋮x1n−1x2n−1⋯xnn−1∣=∏n≥i>j≥1(xi−xj) \begin{vmatrix}1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} = \prod_{n \ge i > j \ge 1}(x_i-x_j)

证明如下：

从第 nn 行开始，将行列式中的后一行减去前一行的 x1x_1 倍，得到下式：

∣11⋯10x2−x1⋯xn−x10x2(x2−x1)⋯xn(xn−x1)⋮⋮⋱⋮0x2n−2(x2−x1)⋯xnn−2(xn−x1)∣  =∣11⋯10x2−x1⋯xn−x10x2(x2−x1)⋯xn(xn−x1)⋮⋮⋱⋮0x2n−2(x2−x1)⋯xnn−2(xn−x1)∣ \begin{align*} \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & x_2-x_1 & \cdots & x_n-x_1 \\ 0 & x_2(x_2-x_1) & \cdots & x_n(x_n-x_1) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & x_2^{n-2}(x_2-x_1) & \cdots & x_n^{n-2}(x_n-x_1) \end{vmatrix}\\ \ \\ \ \\ = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & x_2-x_1 & \cdots & x_n-x_1 \\ 0 & x_2(x_2-x_1) & \cdots & x_n(x_n-x_1) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & x_2^{n-2}(x_2-x_1) & \cdots & x_n^{n-2}(x_n-x_1) \end{vmatrix} \end{align*}

将得到的行列式按第 11 行展开，得到

∣x2−x1x3−x1⋯xn−x1x2(x2−x1)x3(x3−x1)⋯xn(xn−x1)⋮⋮⋱⋮x2n−2(x2−x1)x3n−2(x3−x1)⋯xnn−2(xn−x1)∣  =(x2−x1)(x3−x1)⋯(xn−x1)∣11⋯1x2x3⋯xn⋮⋮⋱⋮x2n−2x3n−2⋯xnn−2∣ \begin{align*} &\begin{vmatrix} x_2-x_1 & x_3-x_1 & \cdots & x_n-x_1 \\ x_2(x_2-x_1) & x_3(x_3-x_1) & \cdots & x_n(x_n-x_1) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_2^{n-2}(x_2-x_1) & x_3^{n-2}(x_3-x_1) & \cdots & x_n^{n-2}(x_n-x_1) \end{vmatrix} \\ \ \\ \ \\ &= (x_2-x_1)(x_3-x_1) \cdots (x_n-x_1) \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_2 & x_3 & \cdots & x_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_2^{n-2} & x_3^{n-2} & \cdots & x_n^{n-2} \end{vmatrix} \end{align*}

此时该式右端为一个 n−1n-1 阶的范德蒙德行列式，可以写成：

(x3−x2)(x4−x2)⋯(xn−x2)∣11⋯1x3x4⋯xn⋮⋮⋱⋮x3n−3x4n−3⋯x3n−3∣ (x_3-x_2)(x_4-x_2) \cdots (x_n-x_2) \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_3 & x_4 & \cdots & x_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_3^{n-3} & x_4^{n-3} & \cdots & x_3^{n-3} \end{vmatrix}

根据数学归纳法，可以把范德蒙德行列式写作：

(x2−x1)(x3−x1)⋯(xn−x1)(x3−x2)(x4−x2)⋯(xn−xn−1)  =∏n≥i>j≥1(xi−xj) \begin{align*} &(x_2-x_1)(x_3-x_1) \cdots (x_n-x_1)(x_3-x_2)(x_4-x_2) \cdots (x_n-x_{n-1}) \\ \ \\ \ \\ &= \prod_{n \ge i > j \ge 1}(x_i-x_j) \end{align*}

证毕。

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