范德蒙德行列式证明

范德蒙德行列式：

$$ \begin{vmatrix}1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} = \prod_{n \ge i > j \ge 1}(x_i-x_j) $$

证明如下：

从第 $n$ 行开始，将行列式中的后一行减去前一行的 $x_1$ 倍，得到下式：

$$ \begin{align*} \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & x_2-x_1 & \cdots & x_n-x_1 \\ 0 & x_2(x_2-x_1) & \cdots & x_n(x_n-x_1) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & x_2^{n-2}(x_2-x_1) & \cdots & x_n^{n-2}(x_n-x_1) \end{vmatrix}\\ \ \\ \ \\ = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & x_2-x_1 & \cdots & x_n-x_1 \\ 0 & x_2(x_2-x_1) & \cdots & x_n(x_n-x_1) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & x_2^{n-2}(x_2-x_1) & \cdots & x_n^{n-2}(x_n-x_1) \end{vmatrix} \end{align*} $$

将得到的行列式按第 $1$ 行展开，得到

$$ \begin{align*} &\begin{vmatrix} x_2-x_1 & x_3-x_1 & \cdots & x_n-x_1 \\ x_2(x_2-x_1) & x_3(x_3-x_1) & \cdots & x_n(x_n-x_1) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_2^{n-2}(x_2-x_1) & x_3^{n-2}(x_3-x_1) & \cdots & x_n^{n-2}(x_n-x_1) \end{vmatrix} \\ \ \\ \ \\ &= (x_2-x_1)(x_3-x_1) \cdots (x_n-x_1) \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_2 & x_3 & \cdots & x_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_2^{n-2} & x_3^{n-2} & \cdots & x_n^{n-2} \end{vmatrix} \end{align*} $$

此时该式右端为一个 $n-1$ 阶的范德蒙德行列式，可以写成：

$$ (x_3-x_2)(x_4-x_2) \cdots (x_n-x_2) \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_3 & x_4 & \cdots & x_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_3^{n-3} & x_4^{n-3} & \cdots & x_3^{n-3} \end{vmatrix} $$

根据数学归纳法，可以把范德蒙德行列式写作：

$$ \begin{align*} &(x_2-x_1)(x_3-x_1) \cdots (x_n-x_1)(x_3-x_2)(x_4-x_2) \cdots (x_n-x_{n-1}) \\ \ \\ \ \\ &= \prod_{n \ge i > j \ge 1}(x_i-x_j) \end{align*} $$

证毕。